1.3子群与商群

为便于自己理解顾沛的《简明抽象代数》所写, 不做证明, 如理解有误, 欢迎指出。

(资料图)

烦请想学习抽象代数的先看课本，勿直接看本文。此外，关于基础数学的学习我也才起步，因此内容仅供参考。

子群：群  群，称  为  的子群，记为 。

定理：若  群，，则下列三个命题等价：

为  子群。

性质：

有限非空子集对运算封闭子集为子群

两个子群的交集为子群

我们在群  寻找一个子群 ，定义一个等价关系 ，那么参考之前的章节，我们有一个分类，这个分类就是全体左陪集。

称称为  对  的左商集，也称为左陪集空间，也可以记为 。

如果恰好左右陪集相同，那么我们得到的这类  称为正规子群，记为。

定理：设 ，则下面条件等价：

在正规子群的定义下，我们可以有定理，也即商集的定义：

前述的关系  是  同余关系  。

我不知道怎么尝试找一个正规子群，但是书上举的例子可以更形象的理解，对整数加群，我们有集合 ，我们根据定理验证其为正规子群，那么对于正规子群，我们根据构造所有陪集

这些就是组成商群的元素，而实际上的  在这里退化成了

也就是模  所得的等价类所构成的集合。书上称为模  的剩余类加群。